平方根の整数部分・小数部分

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LEVEL 5

練習問題

問１　不等式 $\large \boldsymbol{n < \sqrt{10} < n+1}$ を満たす整数 n を求めなさい。

解答・解説

答え：n=3

問２　 $\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ の整数部分を求めなさい。

解答・解説

答え：3

$\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ ＝3.162277…ですが、この値を知らなくても、問1で解いたように $\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ は3よりも大きく4よりも小さい値だということがわかるので、 $\\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ ＝3.････････　
よって整数部分は3

問３　 $\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ の小数部分を求めなさい。

解答・解説

答え： $\large\boldsymbol{\sqrt{10}-3}$

$\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ ＝3.162277…と小数部分が永遠に続くので、小数部分を0.162277…と書き続けるのは無理。そこで工夫が必要。
$\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ から整数部分の3を引くと小数部分だけ残る　ということを利用して、 $\large\boldsymbol{\sqrt{10}-3}$ と表す。

問４　 $\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ の小数部分を $\large\boldsymbol{a}$ とするとき、 $\large\boldsymbol{b=}\large\boldsymbol{\dfrac{1}{a}}$ を求めなさい。

解答・解説

答え： $\large\boldsymbol{b=\sqrt{10}+3}$

問3の答えから、

$\Large\boldsymbol{a=\sqrt{10}-3}$

$\Large\boldsymbol{b=}\Large\boldsymbol{\dfrac{1}{a}//=\dfrac{1}{\sqrt{10}-3}}$

＝3.162277…と小数部分が永遠に続くので、小数部分を0.162277…と書き続けるのは無理。そこで工夫が必要。
$\large\boldsymbol{\sqrt{10}}$ から整数部分の3を引くと小数部分だけ残る　ということを利用して、 $\large\boldsymbol{\sqrt{10}-3}$ と表す。

問２　不等式　 $\large \boldsymbol{2 < \sqrt{n} < 3}$ 　を満たす正の整数 n は何個あるか答えなさい。

解答・解説

答え：225μm

接眼ミクロメーター1目盛りの長さは $\large\boldsymbol{25_{\mu m}}$
👉図２をみると、細胞の大きさは接眼ミクロメータ9目盛り分なので、

LEVEL 1

顕微鏡の接眼レンズ内に接眼ミクロメーターを入れ、対物ミクロメーターと重ねて観察した。対物ミクロメーター5目盛りが接眼ミクロメーター10目盛りに一致した。なお、対物ミクロメーター1mmは100等分されている。

問１　接眼ミクロメーター1目盛りは何 μm か。

解答・解説

答え：5μm

接眼ミクロメーター1目盛りを $\large\boldsymbol{x_{\mu m}}$ とする。
対物ミクロメーター1目盛りの長さは $\large\boldsymbol{10\,\mu m\left(=\dfrac{1}{100}\,\text{mm}\right)}$

接眼ミクロメーター10目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター5目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x_{\mu m} \times 5}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{10_{\mu m} \times 5}$ _目盛り
$\large\boldsymbol{10x = 50}$
$\large\boldsymbol{x = 5_{\mu m}}$

問２　同じ倍率で観察した細胞が接眼ミクロメーター6目盛り分であった。この細胞の大きさは何 μm か。

解答・解説

答え：30μm

接眼ミクロメーター1目盛りの長さは $\large\boldsymbol{5_{\mu m}}$

細胞の大きさ　＝　 $\large\boldsymbol{5_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{6}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{30_{\mu m}}$

LEVEL 2

接眼レンズ10×・対物レンズ40×（総合倍率400×）で観察したところ、対物ミクロメーター（1mm = 100等分）4目盛りが接眼ミクロメーター20目盛りと一致した。

問１　400×における接眼ミクロメーター1目盛りは何 μm か。

解答・解説

答え：2μm

接眼ミクロメーター20目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター4目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x_{\mu m} \times 20}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{10_{\mu m} \times 4}$ _目盛り
$\large\boldsymbol{20x = 40}$
$\large\boldsymbol{x = 2_{\mu m}}$

問２　対物レンズを40×から10×に変えた（総合倍率100×）。このとき、接眼ミクロメーター1目盛りは何 μm になるか。

解答・解説

答え：8μm

総合倍率400×（接眼レンズ10×・対物レンズ40×）から、総合倍率100×（接眼レンズ10×・対物レンズ10×）に変えると、見える範囲は以下の通り4倍になる。

※　倍率が高いとより小さな範囲を細かく観察できると考える。

総合倍率100×では

接眼ミクロメーター20目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター16目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x_{\mu m} \times 20}$ _目盛り　 $\large\boldsymbol{= 10_{\mu m} \times (4}$ _目盛り $\large\boldsymbol{\times 4}$ _倍 $\large\boldsymbol{)}$
$\large\boldsymbol{20x = 160}$
$\large\boldsymbol{x = 8_{\mu m}}$

問３　100×で観察した細胞が接眼ミクロメーター8目盛り分であった。この細胞の実際の大きさは何 μm か。

解答・解説

答え：64μm

接眼ミクロメーター1目盛りの長さは $\large\boldsymbol{8_{\mu m}}$

細胞の大きさ　＝　 $\large\boldsymbol{5_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{6}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{30_{\mu m}}$

LEVEL 3

接眼レンズ10×・対物レンズ40×（総合倍率400×）で対物ミクロメーター（1mm = 100等分）と接眼ミクロメーターを重ねて観察したところ、対物ミクロメーター3目盛りが接眼ミクロメーター12目盛りと一致した。
次に同じ倍率で葉の断面を観察すると、葉肉細胞1個が接眼ミクロメーター6目盛り分であった。また、葉の表側の表皮から裏側の表皮までの距離（葉の厚さ）が接眼ミクロメーター48目盛り分であった。

問１　接眼ミクロメーター1目盛りは何 μm か。

解答・解説

答え：2.5μm

接眼ミクロメーター12目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター3目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x_{\mu m} \times 12}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{10_{\mu m} \times 3}$ _目盛り
$\large\boldsymbol{12x = 30}$
$\large\boldsymbol{x = 2.5_{\mu m}}$

問２　葉肉細胞1個の大きさと、葉の厚さをそれぞれ μm と mm で答えよ。

解答・解説

答え：葉肉細胞1個の大きさ 15μm、0.015mm
葉の厚さ 120μm、0.12mm

接眼ミクロメーター1目盛りの長さは $\large\boldsymbol{2.5_{\mu m}}$

細胞の大きさ　＝　 $\large\boldsymbol{2.5_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{6}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{15_{\mu m}}$ 　＝　 $\large\boldsymbol{0.015_{mm}}$
葉の厚さ　＝　 $\large\boldsymbol{2.5_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{48}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{120_{\mu m}}$ 　＝　 $\large\boldsymbol{0.12_{mm}}$

問３　葉の厚さ方向に葉肉細胞が隙間なく並んでいると仮定すると、何個の細胞が並んでいることになるか。

解答・解説

答え：8個

細胞が $\large\boldsymbol{x_}$ 個並んでいるとすると

葉肉細胞1個の大きさ × 並んでいる細胞の数＝葉の厚さ

$\large\boldsymbol{15_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{x}$ _個　＝　 $\large\boldsymbol{120_{\mu m}}$
$\large\boldsymbol{15x = 120}$
$\large\boldsymbol{x = 8}$ _個

問４　対物レンズを40×から4×に交換した（総合倍率40×）。この倍率で同じ葉を観察したとき、葉の厚さは接眼ミクロメーター何目盛り分に見えるか。

解答・解説

答え：4.8目盛り分

STEP① 　総合倍率40×に変更後の接眼レンズ1目盛り分の長さを再計算する

総合倍率400×（接眼レンズ10×・対物レンズ40×）から、総合倍率40×（接眼レンズ10×・対物レンズ4×）に変えると、見える範囲は以下の通り10倍になる。

※　倍率が高いとより小さな範囲を細かく観察できると考える。

改めて、接眼ミクロメーター1目盛りを $\large\boldsymbol{x'_{\mu m}}$ とする。
対物ミクロメーター1目盛りの長さを $\large\boldsymbol{10\,\mu m\left(=\dfrac{1}{100}\,\text{mm}\right)}$ として、

総合倍率40×で再計算すると、

接眼ミクロメーター12目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター30目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x'_{\mu m} \times 12}$ _目盛り　 $\large\boldsymbol{= 10_{\mu m} \times (3}$ _目盛り $\large\boldsymbol{\times 10}$ _倍 $\large\boldsymbol{)}$
$\large\boldsymbol{12x' = 300}$
$\large\boldsymbol{x' = 25_{\mu m}}$

※　問１の解答2.5μｍの10倍と考えてもよい。

STEP② 　葉の厚さ120μｍが接眼ミクロメーター何目盛り分になるかを計算する

問3の解答から、葉の厚さは120μｍ
これを1目盛り25μｍの接眼レンズで観察したとき、接眼ミクロメーター $\large\boldsymbol{x}$ 目盛り分となる

接眼レンズ1目盛り分の長さ　×　目盛り数　＝　葉の厚さ

$\large\boldsymbol{25_{\mu m} \times x}$ _目盛り　 $\large\boldsymbol{= 120_{\mu m} }$
$\large\boldsymbol{25x = 120}$
$\large\boldsymbol{x = 4.8}$ _目盛り

LEVEL 4

　接眼レンズ10×・対物レンズ40×（総合倍率400×）で対物ミクロメーター（1mm = 100等分）と接眼ミクロメーターを重ねて観察したところ、対物ミクロメーター6目盛りが接眼ミクロメーター20目盛りと一致した。
　同じ倍率（400×）で細胞Aを観察すると接眼ミクロメーター10目盛り、細胞Bを観察すると接眼ミクロメーター25目盛りであった。

問１　400×における接眼ミクロメーター1目盛りは何 μm か。

解答・解説

答え：3μm

接眼ミクロメーター20目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター6目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x_{\mu m} \times 20}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{10_{\mu m} \times 6}$ _目盛り
$\large\boldsymbol{20x = 60}$
$\large\boldsymbol{x = 3_{\mu m}}$

問２　細胞A・Bの実際の大きさをそれぞれ求めよ。

解答・解説

答え：細胞Ａ 30μm、細胞Ｂ 75μm

接眼ミクロメーター1目盛りの長さは $\large\boldsymbol{3_{\mu m}}$

細胞Ａの大きさ　＝　 $\large\boldsymbol{3_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{10}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{30_{\mu m}}$
細胞Ｂの大きさ　＝　 $\large\boldsymbol{3_{\mu m}}$ 　×　 $\large\boldsymbol{25}$ _目盛り　＝　 $\large\boldsymbol{75_{\mu m}}$

　次に、対物レンズは40×のまま、接眼レンズを10×から15×に交換した。対物ミクロメーターと接眼ミクロメーターの再校正はせずに、そのまま細胞の観察を行った。

問３　600×における接眼ミクロメーター1目盛りは何 μm か。400×のときの値をもとに計算せよ。

解答・解説

答え：2μm

接眼レンズを10×→15×に変えると総合倍率は400×→600×となり、見える範囲は以下の通り $\large\boldsymbol{\dfrac{2}{3}\left(=\dfrac{400}{600}\right)}$ 倍になる。

※　倍率が高いとより小さな範囲を細かく観察できると考える。

接眼ミクロメーター20目盛り分の長さ　＝　対物ミクロメーター4目盛り分の長さ

$\large\boldsymbol{x_{\mu m} \times 20}$ _目盛り　 $\large\boldsymbol{= 10_{\mu m} \times (6}$ _目盛り $\large\boldsymbol{\times \dfrac{2}{3}}$ _倍 $\large\boldsymbol{)}$
$\large\boldsymbol{20x = 40}$
$\large\boldsymbol{x = 2_{\mu m}}$