平方根の整数部分・小数部分

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練習問題

問１　不等式 $n < \sqrt{10} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{n=3}

問２　 $\sqrt{10}$ の整数部分を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{3}

$\sqrt{10}$ ＝3.162277…ですが、この値を知らなくても、問1で解いたように $\sqrt{10}$ は3よりも大きく4よりも小さい値だということがわかるので、 $\sqrt{10}$ ＝3.････････　
よって整数部分は3

問３　 $\sqrt{10}$ の小数部分を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{\sqrt{10}-3}

$\sqrt{10}$ ＝3.162277…と小数部分が永遠に続くので、小数部分を0.162277…と書き続けるのは無理。そこで工夫が必要。
$\sqrt{10}$ から整数部分の3を引くと小数部分だけ残る　ということを利用して、 $\sqrt{10}-3$ と表す。

問４　 $\sqrt{10}$ の小数部分を $a$ とするとき、 $b={\dfrac{1}{a}}$ を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{b=\sqrt{10}+3}

問3の答えから、

\begin{aligned} \hspace{2em} \boldsymbol{a} &= \boldsymbol{\sqrt{10}-3} \\[15pt] \boldsymbol{b} &= \boldsymbol{\dfrac{1}{a}} \\[15pt] &= \boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{10}-3}} \\[15pt] &= \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}} \\[15pt] &= \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}+3}{10-9}} \\[15pt] &= \boldsymbol{\sqrt{10}+3} \end{aligned}

問５　 $m < b < m+1$ を満たす整数 $m$ を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{m=6}

問1、問4の答えから、

\begin{aligned} \hspace{2em} \boldsymbol{3 \lt \sqrt{10} \lt4} \\[15pt] \boldsymbol{b=\sqrt{10}+3} \\[15pt] \end{aligned}

$\sqrt{10}$ の範囲を適用すると、

\begin{aligned} \hspace{2em}\boldsymbol{{\color{steelblue}3}+3} &\boldsymbol{\lt {\color{steelblue}\sqrt{10}}+3 \lt {\color{steelblue}4}+4}\\[15pt] \boldsymbol{{\color{red}6}} &\boldsymbol{\lt b \lt 7}\\[15pt] \hspace{2em}\boldsymbol{m=6} \end{aligned}

問６　 $\sqrt{10}$ の小数第1位の値を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{1}

問５の答えから

\begin{aligned} \hspace{2em} \boldsymbol{6\lt b \lt 7} \end{aligned}

分母と分子をひっくり返して $\boldsymbol{a}$ を代入

\begin{aligned} \hspace{2em} \boldsymbol{\dfrac{1}{6}}\boldsymbol{\gt a \gt \dfrac{1}{7}\quad\left( a = \dfrac{1}{b} \right)} \end{aligned}

左右を並べ替えて

\begin{aligned} \hspace{2em} \boldsymbol{\dfrac{1}{7}} & \boldsymbol{\lt a \lt \dfrac{1}{6}} \end{aligned}

$\boldsymbol{a=\sqrt{10}-3}$ なので

\begin{aligned} \hspace{2em} &\boldsymbol{\dfrac{1}{7} \lt \sqrt{10}-3 \lt \dfrac{1}{6}}\\[15pt] &\boldsymbol{\dfrac{1}{7}+3 \lt \sqrt{10} \lt \dfrac{1}{6}+3}\\[15pt] &\boldsymbol{\dfrac{22}{7} \lt \sqrt{10} \lt \dfrac{19}{6}}\\[15pt] &\boldsymbol{3.{\color{red}1}42\cdots \lt \sqrt{10} \lt 3.{\color{red}1}66\cdots } \end{aligned}

問７　不等式　 $2 < \sqrt{n} < 3$ 　を満たす正の整数 $n$ は何個あるか答えなさい。

解答・解説

答え：

\bm{4}

個

LEVEL 1

問１　不等式 $n < 3\sqrt{7} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{n=7}

\begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{2乗した状態を考える。}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n \lt 3\sqrt{7} \lt n+1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt (3\sqrt{7})^2 \lt (n+1)^2}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt 63 \lt (n+1)^2}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{7^2 \lt 63 \lt 8^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}7} \lt 3\sqrt{7} \lt 8} \end{aligned}

問２　 $3\sqrt{7}$ の小数部分を $a、b={\dfrac{1}{a}}$ とするとき、 $a、b$ の値をそれぞれ求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{a=3\sqrt{7}-7 \quad b=\dfrac{3\sqrt{7}+7}{14}}

\begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問1の答えから、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a=3\sqrt{7}-7} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b=\dfrac{1}{3\sqrt{7}-7}} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{=\dfrac{3\sqrt{7}+7}{(3\sqrt{7}-7)(3\sqrt{7}+7)}} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{=\dfrac{3\sqrt{7}+7}{63-49}} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{=\dfrac{3\sqrt{7}+7}{14}} \\[15pt] \end{aligned}

問３　不等式 ${\dfrac{m}{14}} < b < {\dfrac{m+1}{14}}$ を満たす整数 $m$ を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{m = 14}

\begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問1、問2の答えから、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{7 \lt 3\sqrt{7} \lt8} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b=\dfrac{3\sqrt{7}+7}{14}} \\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{3\sqrt{7}}\)\textsf{の範囲を適用すると、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}7}+7}{14}} \boldsymbol{\lt \dfrac{{\color{steelblue}{3\sqrt{7}}}+7}{14} \lt \dfrac{{\color{steelblue}8}+7}{14}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}14}}{14}} \boldsymbol{\lt b \lt \dfrac{15}{14}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{m=14} \end{aligned}

問４　 $3\sqrt{7}$ の小数第1位の値を求めなさい。

解答・解説

答え：

\bm{9}

\begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問3の答えから、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{14}{14}}\boldsymbol{\lt b \lt \dfrac{15}{14}}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{分母と分子をひっくり返して}\(\boldsymbol{a}\)\textsf{を代入}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{14}{14}}\boldsymbol{\gt a \gt \dfrac{14}{15}\quad\left( a = \dfrac{1}{b} \right)}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{左右を並べ替えて、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{14}{15}} \boldsymbol{\lt a \lt \dfrac{14}{14}}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{3\sqrt{7}-7}\)\textsf{なので、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{14}{15} \lt 3\sqrt{7}-7 \lt \dfrac{14}{14}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{14}{15}+7 \lt 3\sqrt{7} \lt \dfrac{14}{14}+7}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{119}{15} \lt 3\sqrt{7} \lt 8}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{7.{\color{red}9}33\cdots \lt 3\sqrt{7} \lt 8} \end{aligned}

LEVEL 2

問　以下の空欄に入る値を求めなさい。

不等式

n \lt 2\sqrt{17} \lt n+1

を満たす整数

n

は

\boxed{\text{ア}}

である。

実数 $a、b$ を

$a=2\sqrt{17}-\boxed{\text{ア}}$ 　

$b=\dfrac{1}{a}$ 　とすると、

$b=\dfrac{\boxed{\text{イ}}+2\sqrt{17}}{\boxed{\text{ウ}}}$ 　である。

また、

$a^2-16b^2=\boxed{\text{エオカ}}\sqrt{17}$ 　である。

さらに、

$\dfrac{m}{\boxed{\text{ウ}}} \lt b \lt\dfrac{m+1}{\boxed{\text{ウ}}}$ 　を満たす整数 $m$ は $\boxed{\text{キク}}$ となる。

よって、

$\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{m+1} \lt a \lt \dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{m}$ 　が成り立つことから、　

　
$2\sqrt{17}$ の整数部分は $\boxed{\text{ア}}$ 、小数第1位は $\boxed{\text{ケ}}$ 、小数第2位は $\boxed{\text{コ}}$ であることがわかる。

解答・解説

答え：
ア

\bm{= 8}

イ

\bm{= 8 \quad\quad}

ウ

\bm{= 4}

エオカ

\bm{= -64 \quad}

キク

\bm{= 16 }

ケ

\bm{= 2}

コ

\bm{= 4}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ア}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{n \lt 2\sqrt{17} \lt n+1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt (2\sqrt{17})^2 \lt (n+1)^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt 68 \lt (n+1)^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8^2 \lt 68 \lt 9^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}8} \lt 2\sqrt{17} \lt 9} \end{aligned}

\begin{aligned} \boldsymbol{\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}}\\ \hspace{2em}\boldsymbol{a} &= \boldsymbol{2\sqrt{17}-8} \\[15pt] \hspace{2em}\boldsymbol{b} &= \boldsymbol{\dfrac{1}{2\sqrt{17}-8}} \\[15pt] \hspace{2em} &= \boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{17}+8}{(2\sqrt{17}-8)(2\sqrt{17}+8)}} \\[15pt] \hspace{2em} &= \boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{17}+8}{68-64}} \\[15pt] \hspace{2em} &= \boldsymbol{\dfrac{{\color{red}8} + 2\sqrt{17}}{{\color{red}4}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{エ}}\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2-16b^2}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{(a+4b)(a-4b)} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\left((2\sqrt{17}-8)+4\left(\dfrac{8+2\sqrt{17}}{4}\right)\right)\left((2\sqrt{17}-8)-4\left(\dfrac{8+2\sqrt{17}}{4}\right)\right)}\\[20pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{(2\sqrt{17}-8+8+2\sqrt{17})(2\sqrt{17}-8-8-2\sqrt{17})}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{(4\sqrt{17})(-16)}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{{\color{red}-64}\sqrt{17}}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b=\dfrac{8+2\sqrt{17}}{4}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8 \lt 2\sqrt{17} \lt 9}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{8+{\color{steelblue}8}}{4} \lt \dfrac{8+{\color{steelblue}{2\sqrt{17}}}}{4} \lt \dfrac{8+{\color{steelblue}9}}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}16}}{4} \lt b \lt \dfrac{17}{4}}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ケ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{16}{4} \lt b \lt \dfrac{17}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{16} \gt a \gt \dfrac{4}{17}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17} \lt a \lt \dfrac{4}{16}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17} \lt a \lt \dfrac{1}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{2\sqrt{17}-8} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17} \lt 2\sqrt{17}-8 \lt \dfrac{1}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17}+8 \lt 2\sqrt{17} \lt \dfrac{1}{4}+8}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{140}{17} \lt 2\sqrt{17} \lt \dfrac{33}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8.{\color{red}2}352\cdots \lt 2\sqrt{17} \lt 8.25}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{この時点で、小数第2位は\(\boldsymbol{8.23}\)\textsf{か}\(\boldsymbol{8.24}\)}}\\[5pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{8.24}\)\textsf{と}\(\boldsymbol{2\sqrt{17}}\)\textsf{の大小を比較して}}\\[10pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{コ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8.24 \qquad 2\sqrt{17}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{(8.24)^2 \qquad (2\sqrt{17})^2}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{67.897\cdots \lt 68}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8.2{\color{red}4} \lt 2\sqrt{17} \lt 8.25}\\[15pt] \end{aligned}

LEVEL 3

問　以下の空欄に入る値を求めなさい。

不等式

n \lt \sqrt{19} \lt n+1

を満たす整数

n

は

\boxed{\text{ア}}

である。

$\sqrt{19}$ の小数部分を $a$ とし、 $b=\dfrac{1}{a}$ 　とおく。

$a=\sqrt{19}-\boxed{\text{イ}}$ 、 $b=\dfrac{\sqrt{19}+\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$ 　である。

$b$ の整数部分は $\boxed{\text{オ}}$ 、小数部分は $\dfrac{\sqrt{19}-\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}$ である。　

$a+b$ 　を計算すると

$a+b=\dfrac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{19}-\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$ 　であり、

$a+b$ 　の整数部分は $\boxed{\text{サ}}$ 、小数部分は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{19}-\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。

$a・b$ 　を計算すると

$a・b=\boxed{\text{タ}}$ 　であり、

$a^2+b^2=\dfrac{\boxed{\text{チツテ}}-\boxed{\text{トナ}}\sqrt{19}}{\boxed{\text{ニ}}}$ 　である。

解答・解説

答え：ア＝4

　　　イ＝4

　　　ウ＝4　エ=3

　　　オ＝2

　　　カ＝2　キ＝3

　　　ク＝4　ケ＝8　コ＝3

　　　サ＝3

　　　シ＝4　ス＝1　セ＝7　ソ＝3

　　　タ＝1

　　　チ＝3　ツ＝5　テ＝0　ト＝6　ナ＝4　ニ＝9

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ア}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{n \lt \sqrt{19} \lt n+1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt \sqrt{19}^2 \lt (n+1)^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4^2 \lt 19 \lt 5^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}4} \lt \sqrt{19} \lt 5} \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{イ}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{\sqrt{19}-{\color{red}4}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{b} = \boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{19}-4}} \\[15pt] &\hspace{2em} = \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4}{(\sqrt{19}-4)(\sqrt{19}+4)}} \\[15pt] &\hspace{2em} = \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4}{19-16}} \\[15pt] &\hspace{2em} = \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+{\color{red}4}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{オ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b=\dfrac{\sqrt{19}+4}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4 \lt \sqrt{19} \lt 5}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}4}+4}{3} \lt \dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{19}}+4}{3} \lt \dfrac{{\color{steelblue}5}+4}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{8}{3} \lt b \lt \dfrac{9}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}2}.666\cdots \lt b \lt 3}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b}\text{ の小数部分は }\boldsymbol{b-2}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4}{3}-2} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4-6}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}-{\color{red}2}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ク}}\boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\sqrt{19}-4+\dfrac{\sqrt{19}+4}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{3(\sqrt{19}-4)+(\sqrt{19}+4)}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{19}-12+\sqrt{19}+4}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}4}\sqrt{19}-{\color{red}8}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{サ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b=\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4 \lt \sqrt{19} \lt 5}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times{\color{steelblue}4}-8}{3} \lt \dfrac{4{\color{steelblue}\sqrt{19}}-8}{3} \lt \dfrac{4\times{\color{steelblue}5}-8}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{8}{3} \lt a+b \lt \dfrac{12}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{2.666\cdots \lt a+b \lt 4}\\[15pt] \end{aligned}

この時点で、整数部分は2か3
整数部分がちょうど3となる値を求めると

\begin{aligned} &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times x-8}{3}=3}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{x=4.25}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times4.25-8}{3}=3}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4.25}\text{と}\boldsymbol{\sqrt{19}}\text{を比較すると、}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{(4.25)^2(=18.06\cdots) \lt (\sqrt{19})^2(=19)}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times4.25-8}{3}=3 \lt \dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\text{よって、}\boldsymbol{a+b}\text{ の整数部分は}\boldsymbol{\color{red}3}\text{で確定。}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{シ}}\boxed{\text{ス}}\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b}\text{ の小数部分は }\boldsymbol{a+b-3}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}-3} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{19}-8-9}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}4}\sqrt{19}-{\color{red}17}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{タ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a \cdot b=a\times\dfrac{1}{a}={\color{red}1}}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{チ}}\boxed{\text{ツ}}\boxed{\text{テ}}\boxed{\text{ト}}\boxed{\text{ナ}}\boxed{\text{ニ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b=\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a \cdot b=1}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\left(\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}\right)^2-2×1} \\[20pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{(4\sqrt{19}-8)^2}{9}-2×1} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\left(\dfrac{(4\sqrt{19})^2-2×4\sqrt{19}×8+8^2}{9}\right)-\dfrac{18}{9}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}350}-{\color{red}64}\sqrt{19}}{{\color{red}9}}} \\[15pt] \end{aligned}

LEVEL 4

　 $\boldsymbol{\sqrt{13}}$ の小数部分を $\boldsymbol{a}$ 、 $\boldsymbol{b=\dfrac{1}{a}}$ とする。

問１　 $\boldsymbol{\sqrt{13}}$ の小数第2位の値を求めなさい。

解答・解説

答え： $\boldsymbol{0}$

\begin{aligned} \\ &\hspace{2em}\boldsymbol{3^2 \lt (\sqrt{13})^2 \lt 4^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{3 \lt \sqrt{13} \lt 4}　(\boldsymbol{\sqrt{13}}\text{の整数部分は}\boldsymbol{3})\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{a = \sqrt{13}-3} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{b = \dfrac{1}{\sqrt{13}-3}} \\[15pt] &\hspace{3.5em}\boldsymbol{= \dfrac{\sqrt{13}+3}{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}} \\[15pt] &\hspace{3.5em}\boldsymbol{= \dfrac{\sqrt{13}+3}{4}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}3}+3}{4} \lt b\left(=\dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{13}}+3}{4}\right) \lt \dfrac{{\color{steelblue}4}+3}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{6}{4} \lt b \lt \dfrac{7}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6} \gt a \gt \dfrac{4}{7}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{7} \lt a \lt \dfrac{4}{6}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{7} \lt \sqrt{13}-3 \lt \dfrac{4}{6}}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{\dfrac{4}{7}+3 \lt \sqrt{13} \lt \dfrac{4}{6}+3}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{3.571\cdots \lt \sqrt{13} \lt 3.666\cdots}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{この結果をもとに}\(\boldsymbol{\sqrt{13}}\)\textsf{の範囲をさらに絞り込む。}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}3.57}+3}{4} \lt b\left(=\dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{13}}+3}{4}\right) \lt \dfrac{{\color{steelblue}3.66}+3}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{6.57}{4} \lt b \lt \dfrac{6.66}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.57} \gt a \gt \dfrac{4}{6.66}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.66} \lt a \lt \dfrac{4}{6.57}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{0.600\cdots \lt \sqrt{13}-3 \lt 0.608\cdots}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{3.6{\color{red}0}0\cdots \lt \sqrt{13} \lt 3.6{\color{red}0}8\cdots}\\[15pt] \end{aligned}

問２　問１を参考に、 $\boldsymbol{\sqrt{13}}$ の小数第3位まで求めなさい。

解答・解説

答え： $\boldsymbol{5}$

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問1の結果をもとに}\(\boldsymbol{\sqrt{13}}\)\textsf{の範囲をさらに絞り込む。}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}3.600}+3}{4} \lt b\left(=\dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{13}}+3}{4}\right) \lt \dfrac{{\color{steelblue}3.608}+3}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{6.600}{4} \lt b \lt \dfrac{6.608}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.600} \gt a \gt \dfrac{4}{6.608}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.608} \lt a \lt \dfrac{4}{6.600}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{0.605\cdots \lt \sqrt{13}-3 \lt 0.606\cdots}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{3.60{\color{red}5}\cdots \lt \sqrt{13} \lt 3.606\cdots}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{念のため}\(\boldsymbol{\sqrt{13}}\)\textsf{と}\(\boldsymbol{3.606}\)\textsf{の大小を比較}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{ (\sqrt{13})^2=13 \lt (3.606)^2=13.003}\\[15pt] \end{aligned}

問３　 $\boldsymbol{a^2+b^2}$ を求めなさい。

解答・解説

答え： $\boldsymbol{\dfrac{187-45\sqrt{13}}{8}}$

\begin{aligned} \\ &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{a+b=\sqrt{13}-3+\dfrac{\sqrt{13}+3}{4}} \\[10pt] &\hspace{6em}\boldsymbol{=\dfrac{5\sqrt{13}-9}{4}} \\[12pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{ab=1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2+b^2=\left(\dfrac{5\sqrt{13}-9}{4}\right)^2-2\times1}\\[15pt] \\ &\hspace{5.5em}\boldsymbol{=\dfrac{(5\sqrt{13})^2-2\times5\sqrt{13}\times9+9^2-32}{16}} \\[15pt] &\hspace{5.5em}\boldsymbol{=\dfrac{187-45\sqrt{13}}{8}} \\[15pt] \end{aligned}

問４　 $\boldsymbol{a^2+b^2}$ の整数部分を求めなさい。

解答・解説

答え： $\boldsymbol{3}$

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問3の結果から}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{3.605 \lt \sqrt{13} \lt 3.606}　\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{187-45\times{\color{steelblue}3.606}}{8} \lt a^2+b^2\left(=\dfrac{187-45{\color{steelblue}\sqrt{13}}}{8}\right) \lt \dfrac{187-45\times{\color{steelblue}3.605}}{8}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}3}.091\cdots \lt a^2+b^2 \lt {\color{red}3}.096\cdots}\\[15pt] \end{aligned}