練習問題
座標平面上に3点 O(0, 0)，A(4, 0)，B(0, 8) がある。
点Pは毎秒1の速さでx軸上を O から A へ向かって移動し、A に到達した時点で止まる。
点Qは毎秒2の速さでy軸上を C から O へ向かって移動し、O に到達した時点で止まる。
P, Q は同時に出発する。
問１ t=1 のときの P , Q の座標を求めなさい。
解答・解説
答え：\bm{P(1,0) \quad Q(0,6)}
問２ t=1 のときの△OPQの面積を求めなさい。
解答・解説
答え：\bm{3}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{三角形の面積=底辺×高さ×}\(\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\)}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{△OPQ=OP×OQ×}\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=1\times6\times\dfrac{1}{2}} \\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=3} \\[15pt]
\end{aligned}
問３ t 秒後の△OPQの面積Sを式で表しなさい。また、t の範囲も示しなさい。
解答・解説
答え：\bm{S = -t^2 + 4t \quad (0 \leqq t \leqq 4)}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{グラフの通り}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\text{OP}\boldsymbol{=t}\quad\text{OQ}\boldsymbol{=8-2t}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{△OPQ=OP×OQ×}\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\boldsymbol{S=t\times(8-2t)\times\dfrac{1}{2}} \\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=\dfrac{2t(4-t)}{2}} \\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=t(4-t)} \\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=-t^2+4t} \\[15pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{点P、点QがそれぞれA、Oに到達するまで4秒なので}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{0\leqq t \leqq4} \\[15pt]
\end{aligned}
問４ △OPQ の面積の最大値を求めなさい。
解答・解説
答え：\bm{4}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{S=-t^2+4t}\)\textsf{のグラフをイメージする}}\\[10pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{イメージの通り、グラフは軸で最大値となる}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\text{一般に }\boldsymbol{ax^2+bx+c}\text{ の2次曲線の軸は }\boldsymbol{x=\dfrac{-b}{2a}}\text{で求めることができる。}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S={\color{steelblue}-}t^2{\color{steelblue}+4}t}\text{の軸は}\\[15pt]
&\hspace{2.5em}\boldsymbol{t=\dfrac{-({\color{steelblue}+4})}{2\times({\color{steelblue}-1})}=2} \\[20pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=2}\text{のとき、}\boldsymbol{S}\text{は最大値}\boldsymbol{S_{max}}\text{となる。} \\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{max}=-{\color{steelblue}2}^2+4\times{\color{steelblue}2}} \\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{={\color{red}4}} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{参考までに、}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t^2+4t}\text{は}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t(t-4)}\text{と因数分解して、}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=0,4}\text{のとき、} \boldsymbol{S=0}\text{となることがわかる。}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{このことからも、} \boldsymbol{S=-t^2+4t}\text{のグラフは、以下の通りである。} \\[15pt]
\end{aligned}
LEVEL 1
座標平面上に4点 O(0,0)，A(4,0)，B(4,8)，C(0,8) を頂点とする長方形 OABC がある。
点 P，Q は次の規則に従って移動する。
- P は O から出発して毎秒 1 の速さで x 軸上を正の向きに A(4,0) まで移動し，到達した時点で終了する。
- Q は C から出発して毎秒 2 の速さで y 軸上を負の向きに O(0,0) まで移動し，到達した時点で終了する。
- P，Q は同時刻に移動を開始する。
この規則に従うと，P，Q はそれぞれ A，C に同時刻（開始から 4 秒後）に到達する。
以下において，移動を開始する時刻を開始時刻，終了する時刻を終了時刻とする。
問１ 開始時刻から t 秒後の P , Q の座標をそれぞれ t で表せ。
解答・解説
答え：\bm{P(t,0) \quad Q(0,8-2t)}
問２ 開始時刻から 1 秒後の△BPQの面積を求めよ。
解答・解説
答え：\bm{13}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ＝正方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{正方形OABC}\boldsymbol{=4\times8=32}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{△OPQ}\boldsymbol{=1\times{6}\times\dfrac{1}{2}=3}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{△QBC}\boldsymbol{=4\times{2}\times\dfrac{1}{2}=4}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{△PAB}\boldsymbol{=3\times{8}\times\dfrac{1}{2}=12}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{△BPQ}\boldsymbol{=32-3-4-12=\color{red}13} \\[15pt]
\end{aligned}
問３ △BPQの面積Sをt の式で表せ。また、t の範囲も示すこと。
解答・解説
答え：\bm{S=t^2-4t+16 \quad (0 \leqq t \leqq 4)}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ(=}\(\boldsymbol{S}\)\textsf{)＝正方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{正方形OABC}\boldsymbol{=4\times8=32}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{△OPQ}\boldsymbol{=t\times{(8-2t)}\times\dfrac{1}{2}=4t-t^2}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{△QBC}\boldsymbol{=4\times{2t}\times\dfrac{1}{2}=4t}\\[15pt]
&\hspace{4em}\text{△PAB}\boldsymbol{=(4-t)\times{8}\times\dfrac{1}{2}=16-4t}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=32-(4t-t^2)-(4t)-(16-4t)} \\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{=\color{red}t^2-4t+16} \\[15pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{点P、点QがそれぞれA、Oに到達するまで4秒なので}}\\[10pt]
&\hspace{4em}\boldsymbol{\color{red}0\leqq t \leqq4} \\[15pt]
\end{aligned}
問４ 開始時刻から終了時刻までの △BPQ の面積の最小値と最大値を求めよ。
解答・解説
答え：最小値 \bm{= 12}（\bm{t=2} のとき），最大値 \bm{= 16}（\bm{t=0 , t=4} のとき）
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{S=t^2-4t+16}\)\textsf{のグラフをイメージする}}\\[10pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{イメージの通り、グラフは軸で最小値となる}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\text{一般に }\boldsymbol{ax^2+bx+c}\text{ の2次曲線の軸は }\boldsymbol{x=\dfrac{-b}{2a}}\text{で求めることができる。}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=t^2-4t+16}\text{の軸は}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{t=\dfrac{-({\color{steelblue}-4})}{2\times({\color{steelblue}1})}=2} \\[20pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=2}\text{のとき、}\boldsymbol{S}\text{は最小値}\boldsymbol{S_{min}}\text{となる。} \\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{min}={\color{steelblue}2}^2-4\times{\color{steelblue}2}+16} \\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{={\color{red}12}} \\[15pt]
&\hspace{2em}\text{軸から等距離にある}\boldsymbol{t=0,4}\text{のとき、}\boldsymbol{S}\text{は最大値}\boldsymbol{S_{max}}\text{となる。} \\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{max}={\color{steelblue}0}^2-4\times{\color{steelblue}0}+16\quad(={\color{steelblue}4}^2-4\times{\color{steelblue}4}+16)} \\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{={\color{red}16}} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{参考までに、}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=t^2-4t+16}\text{は、}\boldsymbol{t^2-4t}\text{の部分を}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S'=t(t-4)}\text{と因数分解して、}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=0,4}\text{のとき、}\boldsymbol{S'=0}\text{の実数解をもつグラフとなることがわかる。}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\boldsymbol{S'=t^2-4t}\text{を、}\boldsymbol{y}\text{方向に}\boldsymbol{+16}\text{平行移動したものが}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=t^2-4t+16}\text{である。}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{このことからも、}\boldsymbol{(0\leqq t \leqq 4)}\text{において、}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=0,4}\text{のときに最大値}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=2}\text{のときに最小値となることがわかる。}\\[15pt]
\end{aligned}
LEVEL 2（共通テストレベル）
座標平面上に4点 O(0,0)，A(8,0)，B(4,8)，C(0,8) を頂点とする台形OABCがある。この座標平面上で，点P，Qは次の規則に従って移動する。
- PはOから出発して毎秒1の速さでx軸上を正の向きにAまで移動し，Aに到達した時点で移動を終了する。
- QはCから出発してy軸上を負の向きにOまで移動し，Oに到達した後はy軸上を正の向きにCまで移動する。そして，Cに到達した時点で移動を終了する。ただし，Qは毎秒2の速さで移動する。
- P，Qは同時刻に移動を開始する。
移動を開始する時刻を開始時刻，終了する時刻を終了時刻とする。
問 以下の空欄に入る値を求めなさい。
（１）開始時刻から
1 秒後の△PBQの面積は
\boxed{\text{アイ}} である。
（２）開始時刻から 4 秒間の△PBQの面積について、面積の最小値は\boxed{\text{ウエ}} であり、最大値は\boxed{\text{オカ}} である。
（３）開始時刻から終了時刻までの△PBQの面積について、面積の最小値は\boxed{\text{キク}} であり、最大値は\boxed{\text{ケコ}} である。
（４）開始時刻から終了時刻までの△PBQの面積について、面積が18以下となる時間は\left(\boxed{\text{サ}}-\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}\right) 秒である。
解答・解説
答え：
（１）アイ\bm{= 13}
（２）ウエ\bm{= 12 \quad}オカ\bm{= 16}
（３）キク\bm{= 12 \quad}ケコ\bm{= 20}
（４）サ\bm{= 8 \quad}シ\bm{= 2 \quad}ス\bm{= 2}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問題をグラフにすると、}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\textbf{（１）}\boldsymbol{\boxed{\text{アイ}}}\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ＝台形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[10pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{1秒後の状態を下図の通りイメージすると、}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{台形OABC}\boldsymbol{=(4+8)\times8\times\dfrac{1}{2}=48}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△OPQ}\boldsymbol{=1\times{6}\times\dfrac{1}{2}=3}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△QBC}\boldsymbol{=4\times{2}\times\dfrac{1}{2}=4}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△PAB}\boldsymbol{=7\times{8}\times\dfrac{1}{2}=28}\\[15pt]
&\hspace{2em}\textsf{△BPQ}\boldsymbol{=48-3-4-28=\color{red}13} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\textbf{（２）}\boldsymbol{\boxed{\text{ウエ}}\quad\boxed{\text{オカ}}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ＝台形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[10pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻から}\(\boldsymbol{4}\)\textsf{秒間の△BPQの面積}\(\boldsymbol{S}\)\textsf{を}\(\boldsymbol{t}\)\textsf{で表すと、}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{台形OABC}\boldsymbol{=(4+8)\times8\times\dfrac{1}{2}=48}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△OPQ}\boldsymbol{=t\times(8-2t)\times\dfrac{1}{2}=4t-t^2}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△QBC}\boldsymbol{=4\times2t\times\dfrac{1}{2}=4t}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△PAB}\boldsymbol{=(8-t)\times8\times\dfrac{1}{2}=32-4t}\\[15pt]
&\hspace{2em}\textsf{△BPQ}\boldsymbol{=48-(4t-t^2)-(4t)-(32-4t)}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=t^2-4t+16\quad (0 \leqq t \leqq 4)} \\[15pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{S=t^2-4t+16\quad (0 \leqq t \leqq 4)}\)\textsf{ のグラフをイメージする}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=t^2-4t+16}\text{は、下に凸のグラフとなり、軸で最小値となる。}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\text{一般に }\boldsymbol{ax^2+bx+c}\text{ の2次曲線の軸は }\boldsymbol{x=\dfrac{-b}{2a}}\text{で求めることができる。}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=t^2-4t+16}\text{の軸、}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{t={\color{gray}\dfrac{-b}{2a}}=\dfrac{-({\color{steelblue}-4})}{2\times({\color{steelblue}1})}=2}\\[20pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=2}\text{のとき、最小値}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{min}={\color{steelblue}2}^2-4\times{\color{steelblue}2}+16} \\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{={\color{red}12}}\text{となり、} \\[15pt]
&\hspace{2em}\text{軸から等距離にある}\boldsymbol{t=0,4}\text{のとき、最大値}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{max}={\color{steelblue}0}^2-4\times{\color{steelblue}0}+16\quad(={\color{steelblue}4}^2-4\times{\color{steelblue}4}+16)} \\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{={\color{red}16}}\text{となる。} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\textbf{（３）}\boldsymbol{\boxed{\text{キク}}\quad\boxed{\text{ケコ}}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{さらに}\(\boldsymbol{4}\)\textsf{秒から終了時刻までの△BPQの面積}\(\boldsymbol{S}\)\textsf{を}\(\boldsymbol{t}\)\textsf{で表す。}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{参考までに、点Ｑが原点Ｏを折り返す前後で動きを整理すると、}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ＝台形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{台形OABC}\boldsymbol{=(4+8)\times8\times\dfrac{1}{2}=48}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△OPQ}\boldsymbol{=t\times(2t-8)\times\dfrac{1}{2}=t^2-4t}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△QBC}\boldsymbol{=4\times(16-2t)\times\dfrac{1}{2}=32-4t}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△PAB}\boldsymbol{=(8-t)\times8\times\dfrac{1}{2}=32-4t}\\[15pt]
&\hspace{2em}\textsf{△BPQ}\boldsymbol{=48-(t^2-4t)-(32-4t)-(32-4t)}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=-t^2+12t-16\quad (4 \leqq t \leqq 8)} \\[15pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{S=-t^2+12t-16\quad (4 \leqq t \leqq 8)}\)\textsf{ のグラフをイメージする}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t^2+12t-16}\text{は、上に凸のグラフとなり、軸で最大値となる。}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\text{一般に }\boldsymbol{ax^2+bx+c}\text{ の2次曲線の軸は }\boldsymbol{x=\dfrac{-b}{2a}}\text{で求めることができる。}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t^2+12t-16}\text{の軸、}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{t={\color{gray}\dfrac{-b}{2a}}=\dfrac{-({\color{steelblue}12})}{2\times({\color{steelblue}-1})}=6}\\[20pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{t=6}\text{のとき、最大値}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{max}=-{\color{steelblue}6}^2+12\times{\color{steelblue}6}-16} \\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{=20}\text{となり、} \\[15pt]
&\hspace{2em}\text{軸から等距離にある}\boldsymbol{t=4,8}\text{のとき、最小値}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S_{min}=-{\color{steelblue}4}^2+12\times{\color{steelblue}4}-16\quad(=-{\color{steelblue}8}^2+12\times{\color{steelblue}8}-16)} \\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{=16}\text{となる。} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻から終了時刻}\(\boldsymbol{(0 \leqq t \leqq 8)}\)\textsf{までのグラフをまとめると、}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\text{開始時刻から終了時刻まで }\boldsymbol{(0 \leqq t \leqq 8)}\text{ の△BPQの面積について、 }\\[15pt]
&\hspace{3em}\text{最小値}\boldsymbol{S_{min}={\color{red}12}} \\[15pt]
&\hspace{3em}\text{最大値}\boldsymbol{S_{max}={\color{red}20}} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\textbf{（４）}\boldsymbol{\boxed{\text{サ}}\quad\boxed{\text{シス}}\quad\boxed{\text{セ}}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{（３）の結果を踏まえて、△BPQの面積が18以下となるのは、}}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{(0 \leqq t \leqq 4)}\text{ のとき、 }\text{全域}\boldsymbol{=4}\text{秒} \\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{(4 \leqq t \leqq 8)}\text{ のとき、 }\boldsymbol{S \leqq 18}\text{となる区間} \\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{交点と区間を求めると、}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{-t^2+12t-16 \leqq 18\quad (4 \leqq t \leqq 8)}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{-t^2+12t-34 \leqq 0\quad (4 \leqq t \leqq 8)}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{交点は、解の公式を使って} \\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{{t=\dfrac{-(+12)\pm\sqrt{(+12)^2-4 \cdot (-1) \cdot (-34)}}{2 \cdot (-1)}}}\\[15pt]
&\hspace{3.5em}\boldsymbol{=6\pm\sqrt{2}}\\[15pt]
&\hspace{2em}\text{区間は、全区間から面積が18を超える区間を引いて} \\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{t={\color{red}8-2\sqrt{2}}}\\[15pt]
\end{aligned}
LEVEL 3
座標平面上に5点 O(0,0)，A(6,0)，B(6,4)，C(3,7)，D(0,7) を頂点とする五角形OABCD がある。この座標平面上で、3つの動点 P, Q, R は以下の規則に従って移動する。
- Pは原点Oから出発して、毎秒 1 の速さで x 軸上を正の向きにAまで移動し、Aに到達した時点で移動を停止する。
- QはDから出発して、毎秒 1 の速さで y 軸上を負の向きに原点 Oまで移動し、Oに到達した時点で移動を停止する。
- Rは原点 Oから出発して、毎秒 2 の速さで y 軸上を正の向きにDまで移動し、Dに到達した後は、折り返して毎秒 2 の速さで y 軸上を負の向きに原点Oまで移動する。そして、Oに到達した時点で移動を停止する。
- P，Q，Rは同時刻に移動を開始する。
移動を開始する時刻を開始時刻，終了する時刻を終了時刻とする。
問１ 開始時刻から 2 秒後の △PQR の面積を求めよ。
解答・解説
答え：\bm{1}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問題をグラフにすると、}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻2秒後の状態は以下の通り}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\text{△PQR}\boldsymbol{=QR\times{OP}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=1\times{2}\times\dfrac{1}{2}=\color{red}1}\\[15pt]
\end{aligned}
問２ △PQR の面積をS(t) とする。移動開始から終了時刻までの全区間における S(t) の最小値、最大値、およびそれらを与える時刻 t をそれぞれ求めよ。
解答・解説
答え：最小値 \bm{= 0}（\bm{t=0,\quad{\dfrac{7}{3}},\quad 7} のとき），最大値 \bm{= \dfrac{49}{8}}（\bm{t=\dfrac{7}{2}} のとき）
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{S(t)のグラフを表すと、}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{各区間の動きをイメージして解説する}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{①}\textsf{Q,Rが近づく}\boldsymbol{(0 \leqq t \leqq \dfrac{7}{3})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\textsf{△PQR=QR(Q-R)}\boldsymbol{\times}\textsf{OP}\boldsymbol{\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=\{(7-t)-(2t)\}\times{t}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=-\dfrac{3}{2}t^2+\dfrac{7}{2}t \qquad (0 \leqq t \leqq \dfrac{7}{3})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{②}\textsf{Q,Rが重なる}\boldsymbol{( t = \dfrac{7}{3})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{4em}\textsf{QとRが重なるときの }\boldsymbol{t}\textsf{ は、}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{7-t=2t}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{t=\dfrac{7}{3}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{③}\textsf{Q,Rが離れる}\boldsymbol{(\dfrac{7}{3} \leqq t \leqq \dfrac{7}{2})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{4em}\textsf{△PQR=RQ(R-Q)}\boldsymbol{\times}\textsf{OP}\boldsymbol{\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=\{(2t)-(7-t)\}\times{t}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{7}{2}t \qquad (\dfrac{7}{3} \leqq t \leqq \dfrac{7}{2})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{④}\textsf{Rが点Dに到着}\boldsymbol{( t = \dfrac{7}{2})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{4em}\textsf{△PQR=RQ}\boldsymbol{\times}\textsf{OP}\boldsymbol{\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=\dfrac{7}{2}\times\dfrac{7}{2}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=\dfrac{49}{8} \qquad (t=\dfrac{7}{2})}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{⑤}\textsf{Rが折り返す}\boldsymbol{(\dfrac{7}{2} \leqq t \leqq 6)}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{2em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{折り返し後のRのY座標は、}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{4em}\textsf{△PQR=RQ(R-Q)}\boldsymbol{\times}\textsf{OP}\boldsymbol{\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=\{(14-2t)-(7-t)\}\times{t}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{7}{2}t \qquad (\dfrac{7}{2} \leqq t \leqq 6)}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{⑥}\textsf{Pが点Aに到着}\boldsymbol{( t = 6)}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{4em}\textsf{△PQR=RQ}\boldsymbol{\times}\textsf{OP}\boldsymbol{\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=1\times6\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=3 \qquad (t=6)}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{⑦}\textsf{Q,Rが原点Oに近づく}\boldsymbol{(6 \leqq t \leqq 7)}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{4em}\textsf{△PQR=RQ(R-Q)}\boldsymbol{\times}\textsf{OP}\boldsymbol{\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=\{(14-2t)-(7-t)\}\times{6}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{7em}\boldsymbol{=-3t+21 \qquad (6 \leqq t \leqq 7)}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\textbf{⑧}\textsf{Q,Rが原点Oに到着}\boldsymbol{( t = 7)}\\[15pt]
\end{aligned}
問3 開始時刻から終了時刻までの△PQRの面積について、面積が1以下となる時間を求めよ。
解答・解説
答え：\bm{\dfrac{\sqrt{73}-1}{6}}秒
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{S(t)のグラフで面積1以下の範囲をイメージする}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{各区間ごとに交点を考える}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\boldsymbol{\left( 0 \leqq t \leqq \dfrac{7}{3}\right)}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}t^2+\dfrac{7}{2}t \leqq 1}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{\dfrac{1}{3} \leqq t \quad,\quad t \leqq 2}\\[15pt]
&\hspace{3em}\textsf{区間内における交点は、 }\boldsymbol{ t = {\color{steelblue}{\dfrac{1}{3}}} \quad,\quad {\color{steelblue}{2}}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\boldsymbol{\left(\dfrac{7}{3} \leqq t \leqq \dfrac{7}{2}\right)}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{7}{2}t \leqq 1}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{\dfrac{7-\sqrt{73}}{6} \leqq t \leqq \dfrac{7+\sqrt{73}}{6}}\\[15pt]
&\hspace{3em}\textsf{区間内における交点は、}\boldsymbol{t={\color{steelblue}\dfrac{7+\sqrt{73}}{6}}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\boldsymbol{\left(\dfrac{7}{2} \leqq t \leqq 6\right)}\\[15pt]
&\hspace{3em}\textsf{区間内における交点は無し}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\boldsymbol{(6 \leqq t \leqq 7)}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{-3t+21 \leqq 1}\\[15pt]
&\hspace{3em}\boldsymbol{\dfrac{20}{3} \leqq t }\\[15pt]
&\hspace{3em}\textsf{区間内における交点は、}\boldsymbol{t={\color{steelblue}\dfrac{20}{3}}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{S(t)のグラフで面積1以下となる範囲は}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{\left(0 \sim \dfrac{1}{3}\right) \quad,\quad \left(2 \sim \dfrac{7+\sqrt{73}}{6}\right) \quad,\quad \left(\dfrac{20}{3} \sim 7\right)}\\[15pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{合計すると、}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{\left(\dfrac{1}{3}-0\right) + \left(\dfrac{7+\sqrt{73}}{6}-2\right) + \left(7-\dfrac{20}{3}\right)}\\[15pt]
&\hspace{2.5em}\boldsymbol{={\color{red}{\dfrac{\sqrt{73}-1}{6}}}} \\[15pt]
\end{aligned}
LEVEL 4
座標平面上に4点 O(0,0)，A(10,0)，B(10,5)，C(0,5) を頂点とする長方形OABCがある。この座標平面上で，点P，Qは次の規則に従って移動する。
- PはOから出発して毎秒1の速さでx軸上を正の向きにAまで移動し，Aに到達した時点で移動を終了する。
- QはCから出発して毎秒5の速さでy軸上を往復運動する。Oに到達するたびに折り返し，Cに到達するたびに折り返す。P，Qは同時に出発する。
- Pが終了時刻に到達した瞬間にQの移動も終了する。
問１ 開始時刻から ２秒後と３ 秒後の △PBQ の面積をそれぞれ求めよ。
解答・解説
答え：2秒後\bm{= 25} 、 3秒後\bm{= \dfrac{15}{2}}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問題をグラフにすると、}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻2秒後の状態は以下の通り}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\textbf{△PBQ}\boldsymbol{=QB\times{AB}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=10\times{5}\times\dfrac{1}{2}=\color{red}25}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻3秒後の状態は以下の通り}}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{2em}\textbf{△PBQ}\boldsymbol{=QP\times{AB}\times\dfrac{1}{2}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{=3\times{5}\times\dfrac{1}{2}=\color{red}{\dfrac{15}{2}}}\\[15pt]
\end{aligned}
問２ 開始時刻から ２秒後から３ 秒後までの △PBQ の面積S(t)をtを用いた式で表せ。
解答・解説
答え： \bm{S(t)=\dfrac{5}{2}t^2-30t+75}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻から2秒後から3秒後までの動きをイメージすると}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{2em}\textsf{開始地点から既に1往復しているので、}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△PBQ＝長方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[10pt]
&\hspace{4em}\textsf{長方形OABC}\boldsymbol{=10\times{5}=50}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△OPQ}\boldsymbol{=t\times(15-5t)\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}t-\dfrac{5}{2}t^2}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△QBC}\boldsymbol{=10\times(5t-10)\times\dfrac{1}{2}=25t-50}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△PAB}\boldsymbol{=(10-t)\times5\times\dfrac{1}{2}=25-\dfrac{5}{2}t}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S(t)}\textsf{(=△PBQ)}\boldsymbol{=50-(\dfrac{15}{2}t-\dfrac{5}{2}t^2)-(25t-50)-(25-\dfrac{5}{2}t)}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{={\color{red}{\dfrac{5}{2}t^2-30t+75}}\quad (2\leqq t \leqq 3)} \\[15pt]
\end{aligned}
問３ 開始時刻から ３秒後から４ 秒後までの △PBQ の面積S(t)をtを用いた式で表せ。
解答・解説
答え： \bm{S(t)=-\dfrac{5}{2}t^2+35t-75}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻から3秒後から4秒後までの動きをイメージすると}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{2em}\textsf{開始地点から既に1往復半しているので、}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△PBQ＝長方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[10pt]
&\hspace{4em}\textsf{長方形OABC}\boldsymbol{=10\times{5}=50}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△OPQ}\boldsymbol{=t\times(5t-15)\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}t^2-\dfrac{15}{2}t}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△QBC}\boldsymbol{=10\times(20-5t)\times\dfrac{1}{2}=-25t+100}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△PAB}\boldsymbol{=(10-t)\times5\times\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}t+25}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S(t)}\textsf{(=△PBQ)}\boldsymbol{=50-(\dfrac{5}{2}t^2-\dfrac{15}{2}t)-(-25t-100)-(-\dfrac{5}{2}t+25)}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{={\color{red}{-\dfrac{5}{2}t^2+35t-75}}\quad (3\leqq t \leqq 4)} \\[15pt]
\end{aligned}
問４ 0 \leqq t \leqq 10 における △PBQ の面積 S(t) の最大値と最小値を答えよ。
解答・解説
答え： \bm{S(t)=-\dfrac{5}{2}t^2+35t-75}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{開始時刻から終了時刻（10秒後）までの点P、点Q動きをそれぞれイメージすると}}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{2em}\textsf{点Pは}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\\
&\hspace{2em}\textsf{点Qは}\\[15pt]
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△PBQ＝長方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[10pt]
&\hspace{4em}\textsf{長方形OABC}\boldsymbol{=10\times5=50}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△OPQ}\boldsymbol{=t\times q_{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{q_{2}t}{2}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△QBC}\boldsymbol{=10\times q_{1}\times\dfrac{1}{2}=5q_{1}}\\[15pt]
&\hspace{4em}\textsf{△PAB}\boldsymbol{=(10-t)\times5\times\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}t+25}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{S(t)=50-\left(\dfrac{q_{2}t}{2}\right)-(5q_{1})-\left(-\dfrac{5}{2}t+25\right)}\\[15pt]
&\hspace{4.5em}\boldsymbol{=\left(\dfrac{5-q_{2}}{2}\right)t-5q_{1}+25\quad(0\leqq t \leqq 10)} \\[15pt]
&\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{各区間の}\(\boldsymbol{q_{1} , q_{2}}\)\textsf{の値を代入すると}}\\[10pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{(0\leqq t \leqq 1)\quad{q_{1}=5t \quad,\quad q_{2}=5-5t}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{S(t)={\dfrac{5}{2}t^2}-25t+25}\\[15pt]
&\hspace{2em}\boldsymbol{(1\leqq t \leqq 2)\quad{q_{1}=10-5t \quad,\quad q_{2}=5t-5}}\\[15pt]
&\hspace{5em}\boldsymbol{S(t)={-\dfrac{5}{2}t^2}+30t-25}\\[15pt]\end{aligned}
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