2次関数（図の面積の最大値）

練習問題

座標平面上に3点 O(0, 0)，A(4, 0)，B(0, 8) がある。
点Pは毎秒1の速さでx軸上を O から A へ向かって移動し、A に到達した時点で止まる。
点Qは毎秒2の速さでy軸上を C から O へ向かって移動し、O に到達した時点で止まる。
P, Q は同時に出発する。

問１　 t=1 のときの P , Q の座標を求めなさい。

解答・解説

答え：\bm{P(1,0) \quad Q(0,6)}

問２　t=1 のときの△OPQの面積を求めなさい。

解答・解説

答え：\bm{3}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{三角形の面積=底辺×高さ×}\(\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\)}\\[15pt] &\hspace{2em}\text{△OPQ=OP×OQ×}\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=1\times6\times\dfrac{1}{2}} \\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=3} \\[15pt] \end{aligned}

問３　  t 秒後の△OPQの面積Sを式で表しなさい。また、t の範囲も示しなさい。 

解答・解説

答え：\bm{S = -t^2 + 4t \quad (0 \leqq t \leqq 4)}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{グラフの通り}}\\[10pt] &\hspace{2em}\text{OP}\boldsymbol{=t}\quad\text{OQ}\boldsymbol{=8-2t}\\[15pt] &\hspace{2em}\text{△OPQ=OP×OQ×}\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{S=t\times(8-2t)\times\dfrac{1}{2}} \\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=\dfrac{2t(4-t)}{2}} \\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=t(4-t)} \\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=-t^2+4t} \\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{点P、点QがそれぞれA、Oに到達するまで4秒なので}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{0\leqq t \leqq4} \\[15pt] \end{aligned}

問４　 △OPQ の面積の最大値を求めなさい。

解答・解説

答え：\bm{4}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{S=-t^2+4t}\)\textsf{のグラフをイメージする}}\\[10pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{イメージの通り、グラフは軸で最大値となる}}\\[10pt] &\hspace{2em}\text{一般に }\boldsymbol{ax^2+bx+c}\text{ の2次曲線の軸は }\boldsymbol{x=\dfrac{-b}{2a}}\text{で求めることができる。}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S={\color{steelblue}-}t^2{\color{steelblue}+4}t}\text{の軸は}\\[15pt] &\hspace{2.5em}\boldsymbol{t=\dfrac{-({\color{steelblue}+4})}{2\times({\color{steelblue}-1})}=2} \\[20pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{t=2}\text{のとき、}\boldsymbol{S}\text{は最大値}\boldsymbol{S_{max}}\text{となる。} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S_{max}=-{\color{steelblue}2}^2+4\times{\color{steelblue}2}} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{={\color{red}4}} \\[15pt] \end{aligned} \begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{参考までに、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t^2+4t}\text{は}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t(t-4)}\text{と因数分解して、}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{t=0,4}\text{のとき、} \boldsymbol{S=0}\text{となることがわかる。}\\[15pt] &\hspace{2em}\text{このことからも、} \boldsymbol{S=-t^2+4t}\text{のグラフは、以下の通りである。} \\[15pt] \end{aligned}

LEVEL 1

座標平面上に4点 O(0,0)，A(4,0)，B(4,8)，C(0,8) を頂点とする長方形 OABC がある。
点 P，Q は次の規則に従って移動する。

• P は O から出発して毎秒 1 の速さで x 軸上を正の向きに A(4,0) まで移動し，到達した時点で終了する。
• Q は C から出発して毎秒 2 の速さで y 軸上を負の向きに O(0,0) まで移動し，到達した時点で終了する。
• P，Q は同時刻に移動を開始する。

この規則に従うと，P，Q はそれぞれ A，C に同時刻（開始から 4 秒後）に到達する。
以下において，移動を開始する時刻を開始時刻，終了する時刻を終了時刻とする。

問１　 開始時刻から t 秒後の P , Q の座標をそれぞれ t で表せ。

解答・解説

答え：\bm{P(t,0) \quad Q(0,8-2t)}

問２　開始時刻から 1 秒後の△BPQの面積を求めよ。

解答・解説

答え：10

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ＝正方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[15pt] &\hspace{2em}\textsf{△BPQ}\boldsymbol{=(6\times6)-\left(2\times2\times\dfrac{1}{2}\right)-\left(6\times4\times\dfrac{1}{2}\right)-\left(4\times6\times\dfrac{1}{2}\right)}\\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=36-2-12-12} \\[15pt] &\hspace{5em}\boldsymbol{=10} \\[15pt] \end{aligned}

問３　△BPQの面積Sをt の式で表せ。また、t の範囲も示すこと。

解答・解説

答え：\boldsymbol{S=-\dfrac{t^2}{2}+6t\quad(0\leqq t \leqq6)}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{△BPQ(S)＝正方形OABC-△OPQ(①)-△QBC(②)-△PAB(③)}}\\[15pt] &\hspace{4em}\text{正方形OABC}\boldsymbol{=6\times6=36}\\[15pt] &\hspace{4em}\text{△OPQ}\boldsymbol{=t\times{t}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{t^2}{2}}\\[15pt] &\hspace{4em}\text{△QBC}\boldsymbol{=6\times{6-t}\times\dfrac{1}{2}=18-3t}\\[15pt] &\hspace{4em}\text{△PAB}\boldsymbol{=(6-t)\times{6}\times\dfrac{1}{2}=18-3t}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S=36-\left(\dfrac{t^2}{2}\right)-(18-3t)-(18-3t)} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{=-\dfrac{t^2}{2}+6t} \\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{点P、点QがそれぞれA、Cに到達するまで6秒なので}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{0\leqq t \leqq6} \\[15pt] \end{aligned}

問４　開始時刻から終了時刻までの △BPQ の面積の最小値と最大値を求めよ。

解答・解説

答え：\boldsymbol{4}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\(\boldsymbol{S=-t^2+4t}\)\textsf{のグラフをイメージする}}\\[10pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{イメージの通り、グラフは軸で最大値となる}}\\[10pt] &\hspace{2em}\text{一般に }\boldsymbol{ax^2+bx+c}\text{ の2次曲線の軸は }\boldsymbol{x=\dfrac{-b}{2a}}\text{で求めることができる。}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S={\color{steelblue}-}t^2{\color{steelblue}+4}t}\text{の軸は}\\[15pt] &\hspace{2.5em}\boldsymbol{t=\dfrac{-({\color{steelblue}+4})}{2\times({\color{steelblue}-1})}=2} \\[20pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{t=2}\text{のとき、}\boldsymbol{S}\text{は最大値}\boldsymbol{S_{max}}\text{となる。} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S_{max}=-{\color{steelblue}2}^2+4\times{\color{steelblue}2}} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{={\color{red}4}} \\[15pt] \end{aligned} \begin{aligned} &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{参考までに、}}\\[10pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t^2+4t}\text{は}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{S=-t(t-4)}\text{と因数分解して、}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{t=0,4}\text{のとき、} \boldsymbol{S=0}\text{となることがわかる。}\\[15pt] &\hspace{2em}\text{このことからも、} \boldsymbol{S=-t^2+4t}\text{のグラフは、以下の通りである。} \\[15pt] \end{aligned}

LEVEL 2

問　以下の空欄に入る値を求めなさい。

解答・解説

答え：ア＝8

　　　イ＝8　ウ＝4

　　　エ=ー　オ＝6　カ＝4

　　　キ＝1　ク＝6

　　　ケ＝2　コ＝4

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ア}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{n \lt 2\sqrt{17} \lt n+1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt (2\sqrt{17})^2 \lt (n+1)^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt 68 \lt (n+1)^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8^2 \lt 68 \lt 9^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}8} \lt 2\sqrt{17} \lt 9} \end{aligned}

\begin{aligned} \boldsymbol{\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}}\\ \hspace{2em}\boldsymbol{a} &= \boldsymbol{2\sqrt{17}-8} \\[15pt] \hspace{2em}\boldsymbol{b} &= \boldsymbol{\dfrac{1}{2\sqrt{17}-8}} \\[15pt] \hspace{2em} &= \boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{17}+8}{(2\sqrt{17}-8)(2\sqrt{17}+8)}} \\[15pt] \hspace{2em} &= \boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{17}+8}{68-64}} \\[15pt] \hspace{2em} &= \boldsymbol{\dfrac{{\color{red}8} + 2\sqrt{17}}{{\color{red}4}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{エ}}\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2-16b^2}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{(a+4b)(a-4b)} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\left((2\sqrt{17}-8)+4\left(\dfrac{8+2\sqrt{17}}{4}\right)\right)\left((2\sqrt{17}-8)-4\left(\dfrac{8+2\sqrt{17}}{4}\right)\right)}\\[20pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{(2\sqrt{17}-8+8+2\sqrt{17})(2\sqrt{17}-8-8-2\sqrt{17})}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{(4\sqrt{17})(-16)}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{{\color{red}-64}\sqrt{17}}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b=\dfrac{8+2\sqrt{17}}{4}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8 \lt 2\sqrt{17} \lt 9}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{8+{\color{steelblue}8}}{4} \lt \dfrac{8+{\color{steelblue}{2\sqrt{17}}}}{4} \lt \dfrac{8+{\color{steelblue}9}}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}16}}{4} \lt b \lt \dfrac{17}{4}}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{16}{4} \lt b \lt \dfrac{17}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{16} \gt a \gt \dfrac{4}{17}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17} \lt a \lt \dfrac{4}{16}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17} \lt a \lt \dfrac{1}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{2\sqrt{17}-8} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17} \lt 2\sqrt{17}-8 \lt \dfrac{1}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{17}+8 \lt 2\sqrt{17} \lt \dfrac{1}{4}+8}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{140}{17} \lt 2\sqrt{17} \lt \dfrac{33}{4}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8.{\color{red}2}352\cdots \lt 2\sqrt{17} \lt 8.25}\\[15pt] \end{aligned}

この時点で、小数第2位は8.23か8.24
\boldsymbol{8.24}と \boldsymbol{2\sqrt{17}}の大小を比較して

\begin{aligned} &\hspace{2em}\boldsymbol{8.24 \qquad 2\sqrt{17}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{(8.24)^2 \qquad (2\sqrt{17})^2}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{67.897\cdots \lt 68}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{8.2{\color{red}4} \lt 2\sqrt{17} \lt 8.25}\\[15pt] \end{aligned}

LEVEL 3

問　以下の空欄に入る値を求めなさい。

解答・解説

答え：ア＝4

　　　イ＝4

　　　ウ＝4　エ=3

　　　オ＝2

　　　カ＝2　キ＝3

　　　ク＝4　ケ＝8　コ＝3

　　　サ＝3

　　　シ＝4　ス＝1　セ＝7　ソ＝3

　　　タ＝1

　　　チ＝3　ツ＝5　テ＝0　ト＝6　ナ＝4　ニ＝9

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ア}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{n \lt \sqrt{19} \lt n+1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{n^2 \lt \sqrt{19}^2 \lt (n+1)^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4^2 \lt 19 \lt 5^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}4} \lt \sqrt{19} \lt 5} \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{イ}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{\sqrt{19}-{\color{red}4}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}}\\ &\hspace{2em}\boldsymbol{b} = \boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{19}-4}} \\[15pt] &\hspace{2em} = \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4}{(\sqrt{19}-4)(\sqrt{19}+4)}} \\[15pt] &\hspace{2em} = \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4}{19-16}} \\[15pt] &\hspace{2em} = \boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+{\color{red}4}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{オ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b=\dfrac{\sqrt{19}+4}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4 \lt \sqrt{19} \lt 5}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}4}+4}{3} \lt \dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{19}}+4}{3} \lt \dfrac{{\color{steelblue}5}+4}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{8}{3} \lt b \lt \dfrac{9}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}2}.666\cdots \lt b \lt 3}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{b}\text{ の小数部分は }\boldsymbol{b-2}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4}{3}-2} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}+4-6}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{19}-{\color{red}2}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{ク}}\boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\sqrt{19}-4+\dfrac{\sqrt{19}+4}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{3(\sqrt{19}-4)+(\sqrt{19}+4)}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{19}-12+\sqrt{19}+4}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}4}\sqrt{19}-{\color{red}8}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{サ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b=\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4 \lt \sqrt{19} \lt 5}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times{\color{steelblue}4}-8}{3} \lt \dfrac{4{\color{steelblue}\sqrt{19}}-8}{3} \lt \dfrac{4\times{\color{steelblue}5}-8}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{8}{3} \lt a+b \lt \dfrac{12}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{2.666\cdots \lt a+b \lt 4}\\[15pt] \end{aligned}

この時点で、整数部分は2か3
整数部分がちょうど3となる値を求めると

\begin{aligned} &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times x-8}{3}=3}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{x=4.25}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times4.25-8}{3}=3}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{4.25}\text{と}\boldsymbol{\sqrt{19}}\text{を比較すると、}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{(4.25)^2(=18.06\cdots) \lt (\sqrt{19})^2(=19)}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4\times4.25-8}{3}=3 \lt \dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}}\\[15pt] &\hspace{2em}\text{よって、}\boldsymbol{a+b}\text{ の整数部分は}\boldsymbol{\color{red}3}\text{で確定。}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{シ}}\boxed{\text{ス}}\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b}\text{ の小数部分は }\boldsymbol{a+b-3}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}-3} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{19}-8-9}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}4}\sqrt{19}-{\color{red}17}}{{\color{red}3}}} \\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{タ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a \cdot b=a\times\dfrac{1}{a}={\color{red}1}}\\[15pt] \end{aligned}

\begin{aligned} &\boldsymbol{\boxed{\text{チ}}\boxed{\text{ツ}}\boxed{\text{テ}}\boxed{\text{ト}}\boxed{\text{ナ}}\boxed{\text{ニ}}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a+b=\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a \cdot b=1}\\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\left(\dfrac{4\sqrt{19}-8}{3}\right)^2-2×1} \\[20pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{(4\sqrt{19}-8)^2}{9}-2×1} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\left(\dfrac{(4\sqrt{19})^2-2×4\sqrt{19}×8+8^2}{9}\right)-\dfrac{18}{9}} \\[15pt] &\hspace{2em}=\boldsymbol{\dfrac{{\color{red}350}-{\color{red}64}\sqrt{19}}{{\color{red}9}}} \\[15pt] \end{aligned}

LEVEL 4

　\boldsymbol{\sqrt{13}} の小数部分を \boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b=\dfrac{1}{a}} とする。

問１　\boldsymbol{\sqrt{13}} の小数第2位の値を求めなさい。

解答・解説

答え：\boldsymbol{0}

\begin{aligned} \\ &\hspace{2em}\boldsymbol{3^2 \lt (\sqrt{13})^2 \lt 4^2} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{3 \lt \sqrt{13} \lt 4}　(\boldsymbol{\sqrt{13}}\text{の整数部分は}\boldsymbol{3})\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{a = \sqrt{13}-3} \\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{b = \dfrac{1}{\sqrt{13}-3}} \\[15pt] &\hspace{3.5em}\boldsymbol{= \dfrac{\sqrt{13}+3}{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}} \\[15pt] &\hspace{3.5em}\boldsymbol{= \dfrac{\sqrt{13}+3}{4}} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}3}+3}{4} \lt b\left(=\dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{13}}+3}{4}\right) \lt \dfrac{{\color{steelblue}4}+3}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{6}{4} \lt b \lt \dfrac{7}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6} \gt a \gt \dfrac{4}{7}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{7} \lt a \lt \dfrac{4}{6}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{4}{7} \lt \sqrt{13}-3 \lt \dfrac{4}{6}}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{\dfrac{4}{7}+3 \lt \sqrt{13} \lt \dfrac{4}{6}+3}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{3.571\cdots \lt \sqrt{13} \lt 3.666\cdots}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{この結果をもとに}\(\boldsymbol{\sqrt{13}}\)\textsf{の範囲をさらに絞り込む。}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}3.57}+3}{4} \lt b\left(=\dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{13}}+3}{4}\right) \lt \dfrac{{\color{steelblue}3.66}+3}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{6.57}{4} \lt b \lt \dfrac{6.66}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.57} \gt a \gt \dfrac{4}{6.66}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.66} \lt a \lt \dfrac{4}{6.57}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{0.600\cdots \lt \sqrt{13}-3 \lt 0.608\cdots}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{3.6{\color{red}0}0\cdots \lt \sqrt{13} \lt 3.6{\color{red}0}8\cdots}\\[15pt] \end{aligned}

問２　問１を参考に、\boldsymbol{\sqrt{13}}の小数第3位まで求めなさい。

解答・解説

答え：\boldsymbol{5}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問1の結果をもとに}\(\boldsymbol{\sqrt{13}}\)\textsf{の範囲をさらに絞り込む。}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{{\color{steelblue}3.600}+3}{4} \lt b\left(=\dfrac{{\color{steelblue}\sqrt{13}}+3}{4}\right) \lt \dfrac{{\color{steelblue}3.608}+3}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{6.600}{4} \lt b \lt \dfrac{6.608}{4}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.600} \gt a \gt \dfrac{4}{6.608}}\\[15pt] &\hspace{4em}\boldsymbol{\dfrac{4}{6.608} \lt a \lt \dfrac{4}{6.600}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{0.605\cdots \lt \sqrt{13}-3 \lt 0.606\cdots}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{3.60{\color{red}5}\cdots \lt \sqrt{13} \lt 3.606\cdots}\\[15pt] &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{念のため}\(\boldsymbol{\sqrt{13}}\)\textsf{と}\(\boldsymbol{3.606}\)\textsf{の大小を比較}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{ (\sqrt{13})^2=13 \lt (3.606)^2=13.003}\\[15pt] \end{aligned}

問３　\boldsymbol{a^2+b^2} を求めなさい。

解答・解説

答え：\boldsymbol{\dfrac{187-45\sqrt{13}}{8}}

\begin{aligned} \\ &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\\[15pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{a+b=\sqrt{13}-3+\dfrac{\sqrt{13}+3}{4}} \\[10pt] &\hspace{6em}\boldsymbol{=\dfrac{5\sqrt{13}-9}{4}} \\[12pt] &\hspace{3em}\boldsymbol{ab=1} \\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{a^2+b^2=\left(\dfrac{5\sqrt{13}-9}{4}\right)^2-2\times1}\\[15pt] \\ &\hspace{5.5em}\boldsymbol{=\dfrac{(5\sqrt{13})^2-2\times5\sqrt{13}\times9+9^2-32}{16}} \\[15pt] &\hspace{5.5em}\boldsymbol{=\dfrac{187-45\sqrt{13}}{8}} \\[15pt] \end{aligned}

問４　\boldsymbol{a^2+b^2} の整数部分を求めなさい。

解答・解説

答え：\boldsymbol{3}

\begin{aligned} \\ &\hspace{1em}\colorbox{lightyellow}{\textsf{問3の結果から}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{3.605 \lt \sqrt{13} \lt 3.606}　\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{\dfrac{187-45\times{\color{steelblue}3.606}}{8} \lt a^2+b^2\left(=\dfrac{187-45{\color{steelblue}\sqrt{13}}}{8}\right) \lt \dfrac{187-45\times{\color{steelblue}3.605}}{8}}\\[15pt] &\hspace{2em}\boldsymbol{{\color{red}3}.091\cdots \lt a^2+b^2 \lt {\color{red}3}.096\cdots}\\[15pt] \end{aligned}